Fundamento Algebraico: Rectas y Conjuntos Afines
Para navegar un paisaje de optimización multidimensional, debemos definir cómo movernos entre dos puntos $x_1$ y $x_2$. Una recta matemática es el conjunto de todos los puntos $y$ que satisfacen:
$$y = \theta x_1 + (1 - \theta)x_2$$
De manera equivalente, podemos verlo como comenzar en $x_2$ y moverse en la dirección $(x_1 - x_2)$ escalada por $\theta$: $y = x_2 + \theta(x_1 - x_2)$. Cuando $\theta$ recorre todos los números reales $\mathbb{R}$, generamos un conjunto afín. Una propiedad clave que recordar: Toda recta es afín. Si pasa por cero, es un subespacio, por lo tanto también un cono convexo.
Un segmento de recta es la restricción donde $0 \le \theta \le 1$. A diferencia de la recta infinita, un segmento de recta es convexo, pero no afín (salvo que se reduzca a un punto). Representa la colección de todas las "medias ponderadas" o combinaciones entre dos extremos.
Un rayo, que tiene la forma $\{x_0 + \theta v \mid \theta \ge 0\}$, donde $v \neq 0$, también es convexo, pero no afín. Los rayos son los bloques fundamentales para los conos en la teoría de optimización.
La Prueba del Carácter Convexo
Definimos un conjunto $C$ como convexo si el segmento de recta que conecta cualquier par de puntos del conjunto está completamente contenido en el conjunto. Este requisito simple —la inclusión del "puente"— es lo que hace que los problemas de optimización sean abordables o insuperables.
Ejemplo: Optimización de Portafolio
En finanzas, supongamos que $x_1$ representa un portafolio del 100% en acciones y $x_2$ es del 100% en bonos. El segmento de recta representa todas las mezclas ponderadas posibles. Por ejemplo, una división 60/40 ocurre en $\theta = 0.6$. Si el conjunto de "portafolios permitidos" es convexo, entonces cualquier mezcla de dos portafolios válidos está garantizada para ser válida, una propiedad que simplifica enormemente la evaluación de riesgos.